图

柯西—施瓦茨不等式

$\mathbb C^N$ 空间

   对 $\mathbb C^N$ 空间, 有

\begin{equation} \left\lvert \sum_i^N u_i^* v_i \right\rvert ^2 \leqslant \sum_j \left\lvert u_j \right\rvert ^2 \sum_k \left\lvert v_k \right\rvert ^2 \end{equation}

内积空间

预备知识 内积

   内积空间中任意两个矢量满足柯西不等式

\begin{equation} \left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle u \middle| u \right\rangle \cdot \left\langle v \middle| v \right\rangle \end{equation}

证明

   我们使用勾股定理来证明. 令 $u$ 在 $v$ 方向的投影为 $x$, 在 $v$ 垂直方向的投影为 $y$, 即

\begin{equation} x = \frac{ \left\langle v \middle| u \right\rangle }{ \left\langle v \middle| v \right\rangle } v \qquad y = u - x \end{equation}
容易证明 $u = x + y$ 且 $ \left\langle x \middle| y \right\rangle = 0$. 这样就可以使用勾股定理式 7
\begin{equation} \left\langle u \middle| u \right\rangle = \left\langle x \middle| x \right\rangle + \left\langle y \middle| y \right\rangle \geqslant \left\langle x \middle| x \right\rangle = \frac{ \left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2}{ \left\langle v \middle| v \right\rangle } \end{equation}
两边乘以 $ \left\langle v \middle| v \right\rangle $, 得式 2 . 特殊地, 不难证明当且仅当 $u, v$ 共线时 $y = 0$, 即 $ \left\langle y \middle| y \right\rangle = 0$, 不等式取等号. 证毕.

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