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幂函数(复数)

   我们先来看实参数的幂函数 $f(x) = x^a$, $x > 0$ 时函数曲线如图 1 所示. 注意 $x^{1/a}$ 是 $x^a$ 的反函数.

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图1:实参数的幂函数(相同颜色的函数互为反函数)

   当 $x < 0$ 时, 可得

\begin{equation} x^a = \abs{x}^a (-1)^a = \abs{x}^a\E^{\I\pi a} \end{equation}
当 $a$ 为偶整数时, $x^a = (-x)^a$ 是偶函数, $a$ 为奇整数时, $x^a = -(-x)^a$ 是奇函数. 当 $a$ 为非整数时, $x^a$ 必为复数, 其模长仍为 $\abs{x}^a$, 幅角为常数 $\E^{\I\pi a}$.

复参数的幂函数

   我们再来将复数的幂函数分解为模长和相位的形式(令 $z = \abs{z} \E^{\I\phi(z)}$, $a = a_I + \I a_R$ )

\begin{equation} z^a = \abs{z}^{a_R} \E^{-\phi(z) a_I} \E^{\I[\ln\abs{z}a_I + \phi(z)a_R]} \end{equation}
可见 $z^a$ 的模长和幅角都分别与 $z$ 和 $a$ 有关. 一般情况下, 这是一个比较复杂的函数, 含有不同的分支(因为 $\phi(z)$ 可以加整数个 $2\pi$).当且仅当 $a$ 为整数时才不会出现分支. 在数值计算中, 分支切割线出现在 $\phi(z) = \pm\pi$ 处, 这是因为数值计算通常取 $\phi(z)\in(-\pi, \pi]$.

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