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圆周运动的速度

几何法

预备知识 小角正弦值极限,速度的定义
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图1:匀速圆周运动的速度

   如图设一个点 $P$ 做半径为 $R$ 的圆周运动, 角速度为 $\omega $(可以是时间的函数), 那么在一段微小时间 $\Delta t$ 内, 可以认为 $\omega$ 是常量, 点 $P$ 转过的角度为 $\Delta \theta = \omega \Delta t$. 这样,根据小角正弦值极限,当 $\Delta t \to 0$ 时, 点 $P$ 在 $\Delta t$ 内走过的位移长度(线段的长度)趋近于弧的长度,即 $ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rvert \to R\omega \Delta t$.

   根据速度的定义

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\Delta t} \end{equation}
速度的大小为
\begin{equation} v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rvert }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\omega R \Delta t}{\Delta t} = \omega R \end{equation}
速度的方向显然与过 $A$ 点的圆的切线重合.

求导法

预备知识 矢量的导数 求导法则

   如图,在平面直角坐标系(单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ )中,令一个绕原点做逆时针匀速圆周运动的质点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $, 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的夹角是时间的函数 $\theta(t)$, 圆周运动的半径为 $R$. 那么任意时刻 $t$ 将位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 沿着 $x$ 与 $y$ 轴方向分解,有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = R\cos \theta(t)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\sin\theta(t)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是 $x$ 轴正方向的单位矢量, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 是 $y$ 轴正方向的单位矢量. 由速度的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }/\mathrm{d}{t} $, 即
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( R\cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) = - R\dot\theta \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\dot\theta \cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ &= \dot\theta R [ \cos\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ] \end{aligned} \end{equation}
定义瞬时角速度(简称角速度)等于 $\theta$ 关于时间的导数 $\omega = \dot \theta$, 则速度大小为 $v = \omega R$, 方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 逆时针旋转 $\pi/2$, 即圆的切线方向.

三维空间的情况

预备知识 矢量叉乘
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图2:角速度与线速度

   如图 2 , 在三维空间中, 圆周运动所在的平面可以任意选取, 我们可以将角速度拓展成一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $, 其方向垂直于该平面并由右手定则 确定. 令坐标系的原点在圆周运动的轴上, 用位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 表示点 $P$ 的位置, 则圆周运动的半径为 $r_\bot = r \sin\theta$, 其中 $\theta$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的夹角. 所以圆周运动速度的大小为 $v = \omega r \sin\theta$. 根据矢量叉乘的几何定义, 有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}

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