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指数函数(复数)

预备知识 指数函数, 复数, 导数
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图1:复数域中的指数函数

   复数域中的指数函数被定义为

\begin{equation} w = \E^z = \E^{x + \I y} = \E^x(\cos y + \I\sin y) \end{equation}
在复平面上表示这个函数,则指数的实部 $x$ 控制因变量 $w$ 的模长, 虚部 $y$ 控制 $w$ 的幅角, 如图 1
\begin{equation} \abs{w} = \E^x \qquad \arg(w) = y \end{equation}
当指数为纯虚数时,式 1 变为著名的欧拉公式
\begin{equation} \E^{\I x} = \cos x + \I\sin x \end{equation}
虽然这里的 $x$ 一般是实数(物理中应用得最多的情况),但根据复数域三角函数的定义, 对于任何复数 $z$,都有欧拉公式
\begin{equation} \E^{\I z} = \cos z + \I\sin z \end{equation}
将“三角函数(复数)”中的式 1 式 2 代入即可证明.

   根据式 1 的定义结合两角和公式(式 3 ), 容易证明 $\E^z$ 同样满足

\begin{equation} \E^{z_1 + z_2} = \E^{z_1}\E^{z_2} \end{equation}

   虽然我们还没有系统地学习复变函数求导的概念, 但我们可以根据式 3 求出一个物理中常见的导数公式

\begin{equation}\ali{ \dv{x} \E^{\I ax} &= -a\sinRound{ax} + \I a\cosRound{ax}\\ &= \I a[\cosRound{ax} + \I \sinRound{ax}]\\ &= \I a \E^{\I ax} }\end{equation}
进一步拓展, 令复常数 $z = a + \I b$ 得
\begin{equation} \dv{x}\E^{z x} = \dv{x} \qtyRound{\E^{ax}\E^{\I bx}} = (a + \I b)\E^{(a+\I b)x} = z\E^{zx} \end{equation}
可见 $\E^z$ 的许多性质与实数域的 $\E^x$ 类似.

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