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指数函数(复数)

         

预备知识 指数函数, 复数, 导数
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图 1:复数域中的指数函数

   复数域中的指数函数被定义为

\begin{equation} w = \mathrm{e} ^z = \mathrm{e} ^{x + \mathrm{i} y} = \mathrm{e} ^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y) \end{equation}
在复平面上表示这个函数,则指数的实部 $x$ 控制函数值 $w$ 的模长, 虚部 $y$ 控制 $w$ 的幅角, 如图 1
\begin{equation} \left\lvert w \right\rvert = \mathrm{e} ^x \qquad \arg(w) = y \end{equation}
当指数为纯虚数时,式 1 变为著名的欧拉公式
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x \end{equation}
虽然这里的 $x$ 一般是实数(物理中应用得最多的情况),但根据复数域三角函数的定义, 对于任何复数 $z$,都有欧拉公式
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z \end{equation}
将 “三角函数(复数)” 中的式 1 式 2 代入即可证明.

   根据式 1 的定义结合两角和公式(式 3 ), 容易证明 $ \mathrm{e} ^z$ 同样满足

\begin{equation} \mathrm{e} ^{z_1 + z_2} = \mathrm{e} ^{z_1} \mathrm{e} ^{z_2} \end{equation}

   虽然我们还没有系统地学习复变函数求导的概念, 但我们可以根据式 3 求出一个物理中常见的导数公式

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} &= -a \sin\left(ax\right) + \mathrm{i} a \cos\left(ax\right) \\ &= \mathrm{i} a[ \cos\left(ax\right) + \mathrm{i} \sin\left(ax\right) ]\\ &= \mathrm{i} a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} \end{aligned} \end{equation}
进一步拓展, 令复常数 $z = a + \mathrm{i} b$ 得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{z x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \mathrm{e} ^{ax} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} bx} \right) = (a + \mathrm{i} b) \mathrm{e} ^{(a+ \mathrm{i} b)x} = z \mathrm{e} ^{zx} \end{equation}
可见 $ \mathrm{e} ^z$ 的许多性质与实数域的 $ \mathrm{e} ^x$ 类似.

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