图

浮力

等效法

   我们先用一个简单易懂的方式解释浮力. 假设在重力加速度为 $g$ 的环境中, 容器中密度为 $\rho_0$ 的液体完全静止. 这时令液体内部有一任意形状的闭合曲面, 体积为 $V_0$. 把曲面内部的液体作为一个整体做受力分析, 其质量为 $m = \rho_0 V_0$, 所受重力为 $mg = \rho_0 V_0 g$. 由于曲面中液体保持静止, 说明曲面外的液体对曲面内的液体施加了相同大小的浮力. 现在我们如果把曲面内的液体替换为一块密度为 $\rho$ 的物体, 由于曲面形状不改变, 外界液体对该物体的浮力仍然为

\begin{equation} F = \rho_0 V_0 g \end{equation}
注意 $V_0$ 为物体在水中部分的体积, 如果物体只有部分在水中, $V_0$ 将小于物体的体积.

散度法

预备知识 散度定理

   现在我们用面积分的方法表示浮力. 令 $z$ 轴竖直向上, 且水面处 $z = 0$, 则水面下压强为

\begin{equation} P = -\rho_0 g z \end{equation}
现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元, 第 $i$ 个面元用矢量 $\Delta \bvec S_i$, 表示, 其中模长为面元的面积, 方向为从内向外的法向. 这个面元受到外界液体的压力为
\begin{equation} \Delta \bvec F_i = -P\Delta \bvec S_i = \rho_0 g z \Delta \bvec S_i \end{equation}
现在把所有面元所受的压力求和, 并用曲面积分表示为
\begin{equation} \bvec F = \oint \rho_0 g z \dd{\bvec S} \end{equation}
这就是物体所受的浮力. 我们先计算其 $z$ 分量, 等式两边投影到 $\uvec z$ (内积)得
\begin{equation} F_z = \oint (\rho_0 g z \uvec z)\vdot \dd{\bvec S} \end{equation}
我们可以把括号内的矢量看做一个矢量场 $\bvec A$, 其散度为
\begin{equation} \div \bvec A = \pdv{z}(\rho_0 g z) = \rho_0 g \end{equation}
对上式应用散度定理, 得
\begin{equation} F_z = \int \div\bvec A \dd{V} = \rho_0 g V_0 \end{equation}
再来计算 $x$ 和 $y$ 分量的浮力, 由于
\begin{equation} \div (\rho_0 g z\uvec x) = \div (\rho_0 g z\uvec y) = 0 \end{equation}
两个水平分量为零. 可见该结论与“等效法”中得出的一致.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利