图

波恩近似(散射)

   我们还是要解出连续态的不含时波函数,且无穷远处的动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _i$ (入射平面波的动量).

\begin{gather} -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi + V\psi = E\psi \\ ( \boldsymbol{\nabla}^2 + k^2)\psi = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi \equiv U( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\psi \end{gather}
这是非齐次亥姆霍兹方程,其格林函数为(球面波)
\begin{equation} G(R) = -\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kR}}{4\pi R} \end{equation}
满足
\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}^2 + k^2)G( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
薛定谔方程的积分形式
\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \int G( \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert )U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}
$\psi_0$ 是自由粒子波函数,由于无穷远处积分项消失($1/r$), $\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} \to\infty)$ 要求具有动量 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _i$,唯一的选择是平面波
\begin{equation} \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
由于微分截面定义在无穷远处,我们把格林函数取无穷远处的极限(远场),注意这个极限在定义中,所以并不算是一个近似.这是关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的平面波
\begin{gather} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert \approx r - \hat r \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \approx r\\ G( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }}{4\pi \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \to - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{4\pi r} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _f \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \end{gather}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _f = k \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 是出射的方向,注意 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} _i \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} _f \right\rvert $ 意味着弹性散射.

   积分方程求近似解的一般方法是先把一个近似解代入积分内,积分得到一阶修正后的解,再次代入,得到二阶修正后的解,以此类推迭代.波恩近似中,假设势能相对于入射动能较弱,积分项相当于微扰,所以令初始(零阶)波函数为 $\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.代入式 5 得一阶修正的波函数,叫做第一波恩近似

\begin{equation} \psi ^{(1)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } - A \frac{m}{2\pi\hbar^2} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{r}\int \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} _i - \boldsymbol{\mathbf{k}} _f) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} '} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}
根据定义,散射幅为
\begin{equation} f(k, \hat r) = - \frac{m}{2\pi\hbar^2} \int \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} _i - \boldsymbol{\mathbf{k}} _f) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} '} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}
这相当于势能函数的空间傅里叶变换.

高阶波恩近似

   把式 5 多次代入式 5 的积分中,得到精确解的“积分级数”形式

\begin{equation} \begin{aligned} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \int \,\mathrm{d}^{3}{r'} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \\ &+ \int \,\mathrm{d}^{3}{r'} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \int \,\mathrm{d}^{3}{r''} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{r}} '')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} '')\psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} '') \\ &+ \int \,\mathrm{d}^{3}{r'} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\times\\ &\int \,\mathrm{d}^{3}{r''} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{r}} '')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} '')\int \,\mathrm{d}^{3}{r'''} G(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} '', \boldsymbol{\mathbf{r}} ''')U( \boldsymbol{\mathbf{r}} ''') \psi_0( \boldsymbol{\mathbf{r}} ''') ... \end{aligned} \end{equation}
若只计算是指包含前 $n$ 行,就叫第 $n$ 波恩近似.具体计算时,偶尔会用到二阶,基本不会用到三阶或以上.

   非常有趣的是,即使我们不假设零阶波函数是平面波,波函数展开成上式时取前 $n$ 行的结果仍然是相同的.

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