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玻尔原子模型

预备知识 圆周运动, 库仑力
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图1:玻尔原子模型

   玻尔原子模型(Bohr Model)图 1 )是量子力学发展的早期被提出的一种解释类氢原子光谱的模型. 该模型中, 我们假设原子核具有 $Z$ 个正电荷。 对于氢原子 $H$ 有 $Z = 1$, 氦离子 $He^+$ 有 $Z = 2$, 锂离子 $Li^{++}$ 有 $Z = 3$ 等等。

   由于原子核质量远大于电子, 我们先假设它固定不动, 唯一的核外电子按照牛顿力学和库伦定律运动, 再人为地加上一个条件(量子化条件)使电子的轨道角动量只能取一些特定的(离散的)值. 这样, 轨道的半径也只能取离散的值, 每个半径 $r_n$ 对应一个机械能(动能加势能) $E_n$, 我们把这些能量叫做能级. 如果电子从一条能量较高的轨道跃迁到另一条能量较低的轨道, 那么一个光子将被产生, 带走两个轨道的能量差. 反之, 如果恰好有一个入射光子的能量是两条轨道机械能之差, 那这个光子就可以被低能量轨道的电子吸收, 使其跃迁到高能量轨道.

   虽然这个模型成功地解释了氢原子各个能级的能量以及氢原子光谱, 但它却并不是完全按照量子力学的的方法来计算的. 按照(现代的)量子力学, 电子需要用波函数描述, 波函数由薛定谔方程计算得到, 所以不具有经典力学中“轨道” 的概念.

   根据玻尔模型, 氢原子的各个能级的能量为

\begin{equation} E_n = - \frac{m e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar ^2} \frac{Z^2}{n^2} \approx - 13.6\Si{eV} \frac{Z^2}{n^2} \qquad (n = 1, 2, \dots) \end{equation}
可见 $n$ 越大, 能级越高. 我们把 $n = 1$ 的状态叫做基态, 其他状态叫做激发态

   各能级的轨道半径如下. 特殊地, 我们把氢原子基态($Z = 1$, $n = 1$) 的电子轨道的半径叫做玻尔半径, 记为 $a_0$.

\begin{equation} r_n = a_0 \frac{n^2}{Z} \qquad (n = 1, 2, \dots) \end{equation}
\begin{equation} a_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{m e^2} \approx 5.292\times 10^{-11}\Si{m} \end{equation}

能级公式推导

   所有原子中最简单的一类叫类氢原子,类氢原子只有一个核外电子,以及一个带 $Z$ 个元电荷的原子核.以下的计算假设二者为质点和点电荷,原子核不动,电子绕原子核做圆周运动.运用经典力学和库仑力公式,可求出电子在不同半径下做圆周运动的能量. 库仑定律与牛顿定律(圆周运动)分别为

\begin{equation} F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{(Ze)e}{r^2} \qquad F = ma = m\frac{v^2}{r} \end{equation}
解得电子速度平方为
\begin{equation} v^2 = \frac{e^2 Z}{4\pi \epsilon_0 mr} \end{equation}
动能与势能分别为
\begin{equation} E_K = \frac12 m v^2 = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{r} \qquad E_P = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} = -2 E_k \end{equation}
总能量为
\begin{equation} E = E_K + E_P = -\frac{Z e^2}{8\pi\epsilon_0 r} \end{equation}
到此为止,我们还没有用到量子力学.然而这样的模型与真实的类氢原子相比有两个致命的缺陷: 第一,根据电动力学,圆周运动的电子会向外辐射电磁波,能量减少,最终坠入原子核; 第二,该模型允许氢原子的能量具有连续值(因为 $r$ 可连续变化),而实验中氢原子只能放出特定能量的光子,说明只能取特定的能量,即存在离散的能级,我们把能级由低到高记为 $E$ $(n = 1,2,3\dots)$.

   以上矛盾说明微观世界的粒子不遵守经典力学和电磁学.玻尔为了解释实验,在经典力学和电磁学上加入了一个条件: 角动量量子化.

   以原子核为原点,电子轨道平面的法向量为 $z$ 轴,由于电子的位矢 $\bvec r$ 与动量 $\bvec p$ 始终垂直,电子的角动量为

\begin{equation} \bvec L = \bvec r \cross \bvec p = mvr \uvec z \end{equation}
玻尔引入的角动量量子化条件为
\begin{equation} L = mvr = n\hbar \end{equation}
其中 $n$ 可以取任意正整数, $\hbar$ 为约化普朗克常量
\begin{equation} \hbar = \frac{h}{2\pi} \end{equation}
该条件也可以等效理解为驻波条件,即允许的圆形轨道长度是德布罗意波长的整数倍.
\begin{equation} 2\pi r = \frac{h}{mv} n \end{equation}
注意式 9 式 11 等效.把式 5 带入了该条件,解得可能的轨道半径为式 2 . 注意轨道与 $n^2$ 成正比, 和 $Z$ 成反比.

   将 $r_n$(式 2 ) 代入式 7 , 得到能级表达式为

\begin{equation} E_n = - \frac{mZ^2 e^4}{32\pi^2\epsilon_0^2 \hbar ^2} \frac{1}{n^2} \approx - 13.6\Si{eV}\frac{Z^2}{n^2} \end{equation}
最简单的原子是氢原子, $Z = 1$, 最低的能级为 $n = 1$, 所以氢原子基态的能级 $E_0$ 约为 $-13.6\Si{eV}$. 这是一个著名的常数,建议熟记.

   将 $r_n$ 带入式 5 还可以得到电子速度为

\begin{equation} v_n = \frac{Z e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar} \frac{1}{n} \end{equation}

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