图1：玻尔原子模型
玻尔原子模型（Bohr Model）（图 1 ）是量子力学发展的早期被提出的一种解释类氢原子光谱的模型． 该模型中， 我们假设原子核具有 $Z$ 个正电荷。 对于氢原子 $H$ 有 $Z = 1$， 氦离子 $He^+$ 有 $Z = 2$， 锂离子 $Li^{++}$ 有 $Z = 3$ 等等。
由于原子核质量远大于电子， 我们先假设它固定不动， 唯一的核外电子按照牛顿力学和库伦定律运动， 再人为地加上一个条件（量子化条件）使电子的轨道角动量只能取一些特定的（离散的）值． 这样， 轨道的半径也只能取离散的值， 每个半径 $r_n$ 对应一个机械能（动能加势能） $E_n$， 我们把这些能量叫做能级． 如果电子从一条能量较高的轨道跃迁到另一条能量较低的轨道， 那么一个光子将被产生， 带走两个轨道的能量差． 反之， 如果恰好有一个入射光子的能量是两条轨道机械能之差， 那这个光子就可以被低能量轨道的电子吸收， 使其跃迁到高能量轨道．
虽然这个模型成功地解释了氢原子各个能级的能量以及氢原子光谱， 但它却并不是完全按照量子力学的的方法来计算的． 按照（现代的）量子力学， 电子需要用波函数描述， 波函数由薛定谔方程计算得到， 所以不具有经典力学中“轨道” 的概念．
根据玻尔模型， 氢原子的各个能级的能量为
\begin{equation}
E_n = - \frac{m e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar ^2} \frac{Z^2}{n^2} \approx - 13.6 \,\mathrm{eV} \frac{Z^2}{n^2}
\qquad (n = 1, 2, \dots)
\end{equation}
可见 $n$ 越大， 能级越高． 我们把 $n = 1$ 的状态叫做
基态， 其他状态叫做
激发态．
各能级的轨道半径如下． 特殊地， 我们把氢原子基态（$Z = 1$， $n = 1$） 的电子轨道的半径叫做玻尔半径， 记为 $a_0$．
\begin{equation}
r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}
\qquad (n = 1, 2, \dots)
\end{equation}
\begin{equation}
a_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{m e^2} \approx 5.292\times 10^{-11} \,\mathrm{m}
\end{equation}
能级公式推导
所有原子中最简单的一类叫类氢原子，类氢原子只有一个核外电子，以及一个带 $Z$ 个元电荷的原子核．以下的计算假设二者为质点和点电荷，原子核不动，电子绕原子核做圆周运动．运用经典力学和库仑力公式，可求出电子在不同半径下做圆周运动的能量． 库仑定律与牛顿定律（圆周运动）分别为
\begin{equation}
F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{(Ze)e}{r^2}
\qquad
F = ma = m\frac{v^2}{r}
\end{equation}
解得电子速度平方为
\begin{equation}
v^2 = \frac{e^2 Z}{4\pi \epsilon_0 mr}
\end{equation}
动能与势能分别为
\begin{equation}
E_K = \frac12 m v^2 = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{r}
\qquad
E_P = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} = -2 E_k
\end{equation}
总能量为
\begin{equation}
E = E_K + E_P = -\frac{Z e^2}{8\pi\epsilon_0 r}
\end{equation}
到此为止，我们还没有用到量子力学．然而这样的模型与真实的类氢原子相比有两个致命的缺陷： 第一，根据电动力学，圆周运动的电子会向外辐射电磁波，能量减少，最终坠入原子核; 第二，该模型允许氢原子的能量具有连续值（因为 $r$ 可连续变化），而实验中氢原子只能放出特定能量的光子，说明只能取特定的能量，即存在离散的
能级，我们把能级由低到高记为 $E$ $(n = 1,2,3\dots)$．
以上矛盾说明微观世界的粒子不遵守经典力学和电磁学．玻尔为了解释实验，在经典力学和电磁学上加入了一个条件： 角动量量子化．
以原子核为原点，电子轨道平面的法向量为 $z$ 轴，由于电子的位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 始终垂直，电子的角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} = mvr \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
玻尔引入的角动量量子化条件为
\begin{equation}
L = mvr = n\hbar
\end{equation}
其中 $n$ 可以取任意正整数， $\hbar$ 为
约化普朗克常量
\begin{equation}
\hbar = \frac{h}{2\pi}
\end{equation}
该条件也可以等效理解为驻波条件，即允许的圆形轨道长度是德布罗意波长的整数倍．
\begin{equation}
2\pi r = \frac{h}{mv} n
\end{equation}
注意
式 9 与
式 11 等效．把
式 5 带入了该条件，解得可能的轨道半径为
式 2 ． 注意轨道与 $n^2$ 成正比， 和 $Z$ 成反比．
将 $r_n$（式 2 ） 代入式 7 ， 得到能级表达式为
\begin{equation}
E_n = - \frac{mZ^2 e^4}{32\pi^2\epsilon_0^2 \hbar ^2} \frac{1}{n^2} \approx - 13.6 \,\mathrm{eV} \frac{Z^2}{n^2}
\end{equation}
对氢原子， 有 $Z = 1$， 最低的能级为 $n = 1$， 所以氢原子
基态的能级 $E_0$ 约为 $-13.6 \,\mathrm{eV} $． 这是一个著名的常数（若使用原子单位
， 这个值恰好是 $-1/2$）．
将 $r_n$ 带入式 5 还可以得到电子速度为
\begin{equation}
v_n = \frac{Z e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar} \frac{1}{n}
\end{equation}
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