图

轨道方程 比耐公式

预备知识 中心力场问题

   我们来看 “中心力场问题” 中得到的两条运动方程(式 10 式 9

\begin{align} \ddot{r} - r \dot\theta^2 &= F(r)/m \\ mr^2\dot \theta &= L \end{align}
为了得到极坐标中 $r(\theta)$ 的微分方程(轨道方程), 我们以下用式 2 消去 式 1 中的 $t$. 首先可以把 $r$ 看做复合函数 $r[\theta(t)]$, 再用链式法则处理式 1 的第一项
\begin{equation}\ali{ \ddot{r} & = \dv{t} \qtyRound{ \dvTwo{r}{t} } = \dv{t} \qtyRound{ \dvTwo{r}{\theta} \dvTwo{\theta}{t} } = \dv{\theta}\qtyRound{ \dvTwo{r}{\theta} } \qtyRound{ \dvTwo{\theta}{t} }^2 + \dvTwo{r}{\theta}\dvTwo[2]{\theta}{t}\\ & = \dvTwo[2]{r}{\theta} \qtyRound{ \dvTwo{\theta}{t} }^2 + \dvTwo{r}{\theta}\dv{\theta} \qtyRound{ \dvTwo{\theta}{t} }\dvTwo{\theta}{t} }\end{equation}
然后把式 2 代入式 1 消去所有 $\dot\theta = \dvStarTwo{\theta}{t}$, 得到 $r$ 关于 $\theta$ 的微分方程
\begin{equation} \dvTwo[2]{r}{\theta} \qtyRound{ \frac{L}{r^2} }^2 + \dvTwo{r}{\theta}\dv{\theta} \qtyRound{ \frac{L}{r^2} }\frac{L}{r^2} - r \qtyRound{ \frac{L}{r^2} }^2 = m^2 F(r) \end{equation}
\begin{equation} \dvTwo[2]{r}{\theta} + r^2\dvTwo{r}{\theta}\dv{\theta} \qtyRound{ \frac{1}{r^2} } - r = \frac{m^2 r^4}{L^2} F(r) \end{equation}
这就是轨道方程. 这个方程比较复杂, 但可以通过换元法化为十分简洁的形式.令
\begin{equation} u \equiv \frac{1}{r} \end{equation}
代入式 5 , 得到 $u$ 关于 $\theta $ 的微分方程
\begin{equation} \dvTwo[2]{u}{\theta} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F\qtyRound{\frac 1u} \end{equation}
这个二阶微分方程被称为比耐公式

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