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轨道方程 比耐公式

         

预备知识 中心力场问题

   我们来看 “中心力场问题” 中得到的两条运动方程(式 10 式 9

\begin{align} \ddot{r} - r \dot\theta^2 &= F(r)/m \\ mr^2\dot \theta &= L \end{align}
为了得到极坐标中 $r(\theta)$ 的微分方程(轨道方程), 我们以下用式 2 消去式 1 中的 $t$. 首先可以把 $r$ 看做复合函数 $r[\theta(t)]$, 再用链式法则处理式 1 的第一项
\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{r} & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left( \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \right) \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2 + \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}^{2}{\theta}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \\ & = \frac{\mathrm{d}^{2}{r}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2 + \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left( \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \end{aligned} \end{equation}
然后把式 2 代入式 1 消去所有 $\dot\theta = \mathrm{d}{\theta}/\mathrm{d}{t} $, 得到 $r$ 关于 $\theta$ 的微分方程
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{r}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} \left(\frac{L}{r^2} \right) ^2 + \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left(\frac{L}{r^2} \right) \frac{L}{r^2} - r \left(\frac{L}{r^2} \right) ^2 = m F(r) \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{r}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + r^2 \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\theta}} \left(\frac{1}{r^2} \right) - r = \frac{m r^4}{L^2} F(r) \end{equation}
这就是轨道方程. 这个方程比较复杂, 但可以通过换元法化为十分简洁的形式.令
\begin{equation} u \equiv \frac{1}{r} \end{equation}
代入式 5 , 得到 $u$ 关于 $\theta $ 的微分方程
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F \left(\frac 1u \right) \end{equation}
这个二阶微分方程被称为比耐公式

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