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二项式定理(非整数幂)

预备知识 二项式定理

   当 $a$, $b$ 为实数, $u$ 为非零实数时,有

\begin{equation} (a+b)^u = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{u(u-1)\dots (u-i+1)}{i!} a^i b^{u-i} \end{equation}
容易看出,当 $u$ 为整数时,$i > u$ 的所有项为 $0$,得到整数指数的二项式定理

数值验证

   在学习微积分之前,这里只给出一个数值验证的方法(而不是证明). 在微积分中, 这个定理可以用泰勒展开推导出来.

   首先化简上式,不妨令 $|a| < |b|$, 把 $b^u$ 提出括号,再令 $x \equiv a/b$, 有 $|x| < 1$.

\begin{equation} (a+b)^u = b^u (1+x)^u = b^u \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{u(u-1)\dots (u-i+1)}{i!} x^i \end{equation}
所以只要用数值验证
\begin{equation} (1+x)^u = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{u(u-1)\dots (u-i+1)}{i!} x^i \end{equation}
即可.接下来,可以用计算器或程序对式 3 的前 $N$ 项进行求和.如果增加 $N$ 使结果趋近精确值,则验证成功(见下表). 这里给出计算下表的 Matlab 程序

表1:数值验证二项式定理(非整数幂)
$(1+x)^u$ $N = 5$ $N = 20$ $N = 100$ 精确值前 8 位
$x = 0.5, u = -0.3$ 0.88445640 0.88546751 0.88546749 0.88546749
$x = 0.6, u = 3.1$ 4.2930453 4.2931093 4.2931093 4.2931093
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