图

磁场的能量

预备知识 磁场矢势

结论

\begin{equation} W = \frac{1}{2\mu_0} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \,\mathrm{d}{V} \qquad \text{或} \qquad W = \frac12 \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{J}} \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
其中 $\mu_0$ 是真空中的磁导率, $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是磁场矢势, $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 是电流密度,积分是对全空间积分(或者对被积函数不为零的空间积分).

幼稚的推导

   首先我们根据能量守恒的思想,假设给一个电感 $L$ 充电的能量都以“磁场能”的形式储存起来,且能量密度只是磁场的函数.

   在无限长圆柱螺线管中

简单的推导

   我们首先考虑一个单匝线圈的磁场能量 假设线圈的电阻为零

   假设 $t = 0$ 时 $I = 0$, 此时没有磁场,磁场能量为零.接下来 $I$ 随着 $t$ 慢慢增加.反向电动势为(定义与电流相同的方向为正)

\begin{equation} \varepsilon = - \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{t}} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
电源克服反电动势的功率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = - \varepsilon I = I \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
由于磁场与电流成正比(见比奥萨伐尔定律) ,不妨设 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} I$ .则
\begin{equation} I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} I \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{b}} }{2} \frac{\mathrm{d}{I^2}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\frac12 I \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
所以
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac12 \int I \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right) \end{equation}
注意两边都是对时间的导数.两边对时间积分,得
\begin{equation} W = \frac12 \int I \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
注意当 $I = 0$ 时 $ W = 0$, 所以积分常数为零.注意在上述过程中,并没有假设电流以什么样的函数随时间变化(只要是缓慢变化即可).
\begin{equation} W = \frac{I}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{I}{2} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac12 \oint I \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
这就是式

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