图

磁场的能量

预备知识 磁场矢势

结论

\begin{equation} W = \frac{1}{2\mu_0} \int \bvec B^2 \dd{V} \qquad \text{或} \qquad W = \frac12 \int \bvec A \vdot \bvec J \dd{V} \end{equation}
其中 $\mu_0$ 是真空中的磁导率, $\bvec A$ 是磁场矢势, $\bvec J$ 是电流密度,积分是对全空间积分(或者对被积函数不为零的空间积分).

幼稚的推导

   首先我们根据能量守恒的思想,假设给一个电感 $L$ 充电的能量都以“磁场能”的形式储存起来,且能量密度只是磁场的函数.

   在无限长圆柱螺线管中

简单的推导

   我们首先考虑一个单匝线圈的磁场能量 假设线圈的电阻为零

   假设 $t = 0$ 时 $I = 0$, 此时没有磁场,磁场能量为零.接下来 $I$ 随着 $t$ 慢慢增加.反向电动势为(定义与电流相同的方向为正)

\begin{equation} \varepsilon = - \dvTwo{\Phi}{t} = - \dv{t} \int \bvec B \vdot \dd{\bvec s} = - \dv{t} \int \qtyRound{\curl \bvec A} \vdot \dd{\bvec s} = - \dv{t} \oint \bvec A \vdot \dd{\bvec l} \end{equation}
电源克服反电动势的功率为
\begin{equation} \dvTwo{W}{t} = - \varepsilon I = I\dv{t} \int \bvec B \vdot \dd{\bvec s} = \int I \dvTwo{\bvec B}{t} \vdot \dd{\bvec s} \end{equation}
由于磁场与电流成正比(见比奥萨伐尔定律) ,不妨设 $\bvec B = \bvec bI$ .则
\begin{equation} I \dvTwo{\bvec B}{t} = \bvec bI \dvTwo{I}{t} = \frac{\bvec b}{2} \dvTwo{I^2}{t} = \dv{t} (\frac12 I\bvec B) \end{equation}
所以
\begin{equation} \dvTwo{W}{t} = \dv{t} \qtyRound{\frac12 \int I\bvec B \vdot \dd{\bvec s}} \end{equation}
注意两边都是对时间的导数.两边对时间积分,得
\begin{equation} W = \frac12 \int I\bvec B \vdot \dd{\bvec s} \end{equation}
注意当 $I = 0$ 时 $ W = 0$, 所以积分常数为零.注意在上述过程中,并没有假设电流以什么样的函数随时间变化(只要是缓慢变化即可).
\begin{equation} W = \frac{I}{2} \int \bvec B \vdot \dd{\bvec s} = \frac{I}{2} \int \curl \bvec A \vdot \dd{\bvec s} = \frac12 \oint I\bvec A \vdot \dd{\bvec l} \end{equation}
这就是式

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