图

BEC 超流

   首先,我们回顾一下理想玻色气体的 BEC. 假设这种玻色子的色散是 $\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } = \hbar^2{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^2/2m$ (实际上长什么样在我们这里一般的分析中并没有什么关系). 我们可以看到, $n_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }=1/( \mathrm{e} ^{\beta(\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu)}-1)$. 那么,在热力学极限下可以发现如果 $\mu < 0$,换句话说温度处于 $T_c$, $N\to\infty$, $n_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }/N\to 0$. 而相变的时候 $T_c: \mu=0$,这时候物理图像是 de Brogilie 波长 $\approx$ 粒子间距. 在 $ < T_c$ 时,

\begin{equation} N=N_0+\frac{V}{2\pi^3}\int \text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\frac{1}{ \mathrm{e} ^{\beta\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}-1},\quad N_0/N\neq0 \end{equation}
呈现宏观占据. 看得出来我们虽然很熟悉什么是理想玻色气体的 BEC,但是对于一般的情况,如何规定它是否是处于凝聚的态呢?

   首先,我们可以写出某个多体($N$ 体)波函数 $\Psi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1,{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2,\cdots,{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_N)$ 密度矩阵 $\rho$. 它的矩阵元有 $2N$ 个指标, $\langle x_1,\cdots,x_N|\rho|y_1,\cdots,y_N\rangle$. 把它 trace 掉 $N-1$ 个指标,得到

\begin{equation} \rho({ \boldsymbol{\mathbf{r}} },{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '}) = N\int\sum_s p_s\psi^*({ \boldsymbol{\mathbf{r}} },{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2,\cdots,{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_N)p_s\psi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} '},{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2,\cdots,{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_N)\text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2\cdots\text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_N \end{equation}
二参数函数可以按照某一个基展开,
\begin{equation} \rho({ \boldsymbol{\mathbf{r}} },{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '}) = \sum_i N_i \varphi_i^*({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\varphi_i({ \boldsymbol{\mathbf{r}} '}) \end{equation}
对于 $N_i$,如果所有 $N_i/N=0$, 那么就称这个态是 normal phase. 如果有一个不等于 $0$ 的,那就是一般的 BEC,如果有多个 $N_i\neq0$ 叫 fragment BEC. 后两者称之存在非对角长程序(off-diagonal long-range order,ODLRO).

   对于正常的 BEC 的情况, $\exists N_0\gg N_{i\neq0}$,如果我们忽略两体相互作用的细节,我们就可以写出

\begin{equation} \rho({ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '}) \approx N_0\varphi^*({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\varphi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} '}) \end{equation}
其中,满足要求的系统的态是
\begin{equation} \Psi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1,{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2,\cdots,{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_N) = \prod_{\otimes}\varphi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_i) \end{equation}

   我们考虑系统的 Hamiltonian. 利用赝势,我们写出

\begin{equation} \hat{H} = \sum_i^N \left(\frac{\nabla_i^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_i)\right)\sum_{\langle i,j\rangle}\frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m}\delta^3({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{ij})\frac{\partial}{\partial r_{ij}}r_{ij} \end{equation}

   显然,我们的波函数式 5 在这里面并不存在我们上一章讨论的 $r_i\to r_j$ 的那种发散行为,因为我们实际上忽略了两体相互作用的细节. 当然,这种情况下我们很容易发现,没有奇异性的时候,赝势仅仅就是一个 $\delta$ 而已,因为其形如 $r_{ij}\partial_{r_{ij}}$ 的成分在 $\delta^3({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{ij})$ 下不作任何贡献:

\begin{equation} \delta^3({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{ij})\frac{\partial}{\partial r_{ij}}r_{ij} = \delta^3({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{ij}) \end{equation}

   我们可以通过对 $\langle \varphi|H+\mu N|\varphi\rangle$ 取极值得到本征值方程.

\begin{equation} \varepsilon = N\int \text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }\varphi^*({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\varphi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })+\frac{N(N-1)}{2}\int \text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }\frac{4\pi\hbar^2a_s}{m}|\varphi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })|^4 \end{equation}
以 $\varphi^*$ 作为变量, $N\to\infty$ 而且 $\phi = \sqrt{N}\varphi, U\equiv \dfrac{4\pi\hbar^2a_s}{m}$, 我们有
\begin{equation} \Rightarrow \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\phi + U|\phi|^2\phi = \mu\phi \end{equation}
这就是著名的不含时 Gross-Pitaevskii 方程

   如果我们考虑的不是一个定态问题,而是 $\phi = \phi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} },t)$, 那么我们的这个方程实际上要稍作改动. 符合直觉的我们可以得到 含时 Gross-Pitaevskii 方程

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\frac{\partial\phi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\phi + U|\phi|^2\phi \end{equation}

   接下来我们做两个魔法操作. 首先将 $\phi^*\times$ 式 10 减去它的共轭,显然其左手边为

\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t} + \mathrm{i} \hbar\phi\frac{\partial\phi^*}{\partial t} = \mathrm{i} \hbar\frac{\partial\phi^*\phi}{\partial t} = \mathrm{i} \hbar\frac{\partial|\phi|^2}{\partial t} \end{equation}
而右手边则为
\begin{equation} \begin{split} &\left(\phi^* \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\phi + U|\phi|^4\right) -\left(\phi \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\phi^* + U|\phi|^4\right) \\ =& \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot\left(\phi\nabla\phi^* - \phi^*\nabla\phi\right) \end{split} \end{equation}
于是,就得到 \[ \mathrm{i} \hbar\frac{\partial|\phi|^2}{\partial t} = \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot\left(\phi\nabla\phi^* - \phi^*\nabla\phi\right) \] 定义 $\phi({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }) = \sqrt{\rho} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$, 其中 $\rho = \rho({ \boldsymbol{\mathbf{r}} }),\theta = \theta({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })$. 我们从而有
\begin{equation}\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }),\quad { \boldsymbol{\mathbf{v}} }\overset{\text{def}}{\equiv}\frac{\hbar}{m}\frac{\partial\theta}{\partial t} \end{equation}
这就得到了连续性方程. 当然,还得补充一个无旋方程
\begin{equation} \nabla\times{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }=0 \end{equation}
另一个魔法是将 $\phi^*\times$ 式 10 它的共轭. 左手边为
\begin{equation} \mathrm{i} \hbar\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t} - \mathrm{i} \hbar\phi\frac{\partial\phi^*}{\partial t} = \mathrm{i} \hbar\phi^{*2}\frac{\partial \phi/\phi^*}{\partial t} = -2\hbar\rho\frac{\partial\theta}{\partial t} \end{equation}
而右边就有点复杂了,下面的最后一项会很复杂:
\begin{equation} \begin{split} &\left(\phi^* \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\phi + U|\phi|^4\right) + \left(\phi \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V({ \boldsymbol{\mathbf{r}} })\right)\phi^* + U|\phi|^4\right) \\ =& 2V\rho + 2U\rho^2 - \frac{\hbar^2}{2m}\left(\phi^*\nabla^2\phi + \phi\nabla^2\phi^*\right) \end{split} \end{equation}

   我们显然希望能够提取出来一个 $\rho$,所以我们给出详细的计算过程:

\begin{equation} \begin{split} \nabla^2\phi &= \nabla^2\left(\sqrt\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}\right)\\ &=\nabla\cdot\left(\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}}{2\sqrt\rho}\nabla\rho+i\sqrt{\rho} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}\nabla\theta\right)\\ &=\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}}{2\sqrt\rho}\nabla^2\rho+\frac{ \mathrm{i} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}}{\sqrt\rho}\nabla\theta\nabla\rho - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}}{4\rho^{3/2}}(\nabla\rho)^2-\sqrt\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}(\nabla\theta)^2+i\sqrt\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}\nabla^2\theta \end{split} \end{equation}
类似有
\begin{equation} \begin{split} \nabla^2\phi^* &= \nabla^2\left(\sqrt\rho \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}\right)\\ &=\nabla\cdot\left(\frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}}{2\sqrt\rho}\nabla\rho-i\sqrt{\rho} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}\nabla\theta\right)\\ &=\frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}}{2\sqrt\rho}\nabla^2\rho-\frac{ \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}}{\sqrt\rho}\nabla\theta\nabla\rho - \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}}{4\rho^{3/2}}(\nabla\rho)^2-\sqrt\rho \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}(\nabla\theta)^2-i\sqrt\rho \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \theta}\nabla^2\theta \end{split} \end{equation}
从而有
\begin{equation} \phi^*\nabla^2\phi+\phi\nabla^2\phi^* = \nabla^2\rho - \frac{1}{2\rho}(\nabla\rho)^2-2\rho(\nabla\theta)^2 = 2\sqrt\rho \nabla^2\sqrt\rho - 2\rho(\nabla\theta)^2 \end{equation}
从而我们得到原本的式子右边等于
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\sqrt\rho}+\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla\theta)^2+V+U\rho \end{equation}
将 $\nabla$ 作用到等式两边,得到
\begin{equation} m\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\partial t} = -\nabla\cdot\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\sqrt\rho}\nabla^2\sqrt\rho + \frac{1}{2}m{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }^2+V+U\rho\right] \end{equation}

   以上的推导都是零温情况,只包含超流成分;有限温的问题可以加入正常流体的成分,从而变成二流体模型. 考虑一个均匀系统 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$,基态有均匀的密度 $\rho_0$,且 ${ \boldsymbol{\mathbf{v}} } = 0$. 我们可以对非基态的态的密度函数作展开: $\rho = \rho_0+\delta\rho$. 只取 $\delta\rho,{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }$ 和 $k$ 的领头阶,我们可以简化刚刚得到的方程:

\begin{equation} m\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\partial t} = -U\nabla\cdot\delta\rho,\quad \frac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla(\rho{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }) \approx-\rho_0\nabla \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
联合起来就得到
\begin{equation} \frac{\partial^2\delta\rho}{\partial t^2} = \frac{U\rho_0}{m}\nabla^2\delta\rho \end{equation}
即得到了声子色散
\begin{equation} \omega = \sqrt{\frac{U\rho_0}{m}}k \end{equation}
声速得到为 $c=\sqrt{\dfrac{U\rho_0}{m}}$,是一个低能的线性 gapless 激发(从而无色散). 这与 $\text{U}(1)$ 对称性是联系起来的.

   最后我们来说一下超流与临界速度. 这个临界速度就和我们 BCS 里面的临界磁场有点像:超过这个速度,超流就不再是超流了. 考虑一个质量为 $m_0$,速度 ${ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_i$ 的杂质,在与某处于 BEC 态的物体相互作用. 如果有摩擦,也就是说,这个杂质被散射到某一速度 ${ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_f$ 了,我们可以在初始 BEC 质心系写能动量守恒

\begin{equation} m_0{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_i + { \boldsymbol{\mathbf{q}} } = m_0{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_f,\quad \frac{m_0{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_i^2}{2} = \frac{m_0{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_i^2}{2} + c|{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }| \end{equation}
得到
\begin{equation} { \boldsymbol{\mathbf{v}} }_i\cdot{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }-c|{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }| = \frac{{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }^2}{2m} \end{equation}
可见右边等式大于 $0$,如果 ${ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_i < c$,则左边无法满足也为正,即无法发生散射,也就是真正意义的“超流”(不会产生摩擦作用),这个临界速度也就是声速 $c$.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利