# 数学分析笔记

参考书： Principles of Mathematical Analysis (Rudin) 3ed

## Chap 1. 实数系和复数系

• 有理数（rational number）记为 $Q$， 实数记为 $R$
• 虽然任意两个不同得有理数间还有一个有理数， 但是有理数集中还是会有 “间隙”， 而实数集填补了这些间隙．
• 集合（set）属于（in） $x \in A$， 不属于（not in） $x \notin A$
• 空集（empty set）非空（none empty）子集（subset） $A \subset B$，超集（superset） $B \supset A$， 真子集（proper subset）
• 有序集（ordered set）， 任意不相等的两个元可以比较大小
• 有上界（bounded above）： 任意元小于等于超集中的某个元． 上界（upper bound）
• 最小上界（least upper bound， supremem） ： $\alpha = \sup E$； 最大下界（greatest lower bound， infimum）： $\alpha = \inf E$
• 如果对于任意非空有上界的 $E \subset S$， 都有 $\sup E \in S$， 那 $S$ 就具有 upper bound property
• 域（field） 集合 $F$ 定义了加法乘法． 加法满足： 闭合性， 交换律， 结合律， 存在 0 元， 存在逆元． 乘法满足： 闭合性， 交换律， 结合律， 存在单位元， 存在倒数． 加法和乘法满足分配律．
• 有理数集是一个域
• 有序域（ordered field）
• 存在一个有序域 $R$ 具有 upper bound property， 且有理数集 $Q$ 是其子集． $R$ 就是实数．
• 实数的阿基米德性质： 存在整数 $n$ 使 $nx > y$ （$x > 0$）
• $x \in R$， $x > 0$， $n$ 为整数， 存在实数 $y$ 使 $y^n = x$
• dense: 两个不同的实数间必有一个有理数
• extended real number system 是在实数集基础上加入 $\pm\infty$ 两个符号． 对任何实数有 $-\infty < x < +\infty$． 所有非空子集都有最小上界和最大下界． 相比于无穷， 实数集中的元被称为 finite
• 复数是一对有序实数 $(a, b)$， 定义了加法和乘法后， 就变成了一个域． 定义 $\I = (0, 1)$．
• 对正整数 $k$， $R^k$ 定义为所有 $k$ 个有序实数的集合 $\bvec x = (x_1, \dots, x_k)$， 其中 $x_i$ 叫做坐标．
• 定义 $R^k$ 中的内积为 $\bvec x \vdot \bvec y = \sum_{i = 1}^k x_i y_i$
• 定义模长为 $\abs{x} = (\bvec x \vdot \bvec x)^{1/2}$
• 定义了内积和模长的 $R^k$ 被称为欧几里得 k 空间（euclidean k-space）． 这也是一个度量空间（metric space）（见下文）． 通常 $R^1$ 叫做线， $R^2$ 叫做面

## Chap 2. 基本拓扑

• 函数是两个集合 $A$， $B$ 之间的映射； 定义域， 值域， 值． $f(A)$ 就是集合 $A$ 的 image； $f(A) \subset B$． 如果 $f(A) = B$， 那么 $f$ 把 $A$ 映射到（onto） $B$． $f^{-1}(E)$ inverse image1-1 映射
• 如果 $A$ 到 $B$ 存在 1-1 映射， 记为 $A \sim B$： reflexive $A \sim A$， symmetric $A \sim B \to B \sim A$， transitive $A \sim B, B \sim C \to A \sim C$
• 定义 $J_n$ 为集合 $1,2,\dots, n$， 定义 $J$ 为 $1, 2, \dots$
• $A \sim J_n$ 为有限（finite）， 不是有限就是无限（infinite）， $A \sim J$ 为可数（countable）1至多可数（at most countable） 就是有限或者可数
• 对无限集来说， “含有有限个元” 很模糊， 但是 1-1 映射的定义仍然有效（只要写出一个表达式）
• 有限集不可能与真子集等效， 而无限集可以
• 数列是 $J$ 的映射 $f(n) = x_n$， 记为 $\{x_n\}$． $x_n$ 叫做一项． 如果 $x_n \in A$， 那该序列就叫 $A$ 中（元素）的序列．
• 可数集的无穷子集仍然是可数的
• Sequence of set $\{E_\alpha\}$， 每个 $\alpha \in A$ 都对应一个 $E_\alpha$（其实就是 set of sets， 但不这么叫）
• 并集（Union）： $\bigcup\limits_{m = 1}^n E_m$， 交集（intersection）： $\bigcap\limits_{m = 1}^n E_m$
• 并集和交集的混合运算法则和加法和乘法差不多
• 如果 $E_n\ (n = 1, 2\dots)$ （无穷多个）是可数的， 那么它们的 union 仍然是可数的
• 如果 $A$ 是 at most countable， 且对 $\alpha \in A$， $B$ 也是 at most countable， 那么 $T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$ 也是 at most countable
• 如果 $A$ 可数， $a_i \in A$， 而 $B_n$ （$n$ 为固定的正整数）是所有 $(a_1, \dots, a_n)$ 的集合， 那么 $B_n$ 也是可数的
• 自然数和有理数（可以看作两个有序整数）都可数， 无理数不可数
• 如果集合 $X$ 中的元素可以叫做点（point）， 如果一个值为实数的函数 $d(p, q), \ p \in X,\ q \in X$ 满足： 当 $p = q$， $d(p, q) = 0$， 当 $p \ne q$， $d(p, q) > 0$， $d(p, q) = d(q, p)$， $d(p, q) \leqslant d(p, r) + d(r, q)$， $r \in X$， 我们就说这是一个度量空间（metrix space）， 函数 $d$ 叫做距离函数（distance function）， 或者度规（metric）
• segment $(a, b)$ 是所有 $a < x < b$ 的实数， interval $[a, b]$ 是所有 $a \leqslant x \leqslant b$ 的实数．
• interval 也叫 1-cell， 类似地， $R^k$ 中可以定义 k-cell， 2-cell 是长方形
• 类似地， $R^k$ 空间也可以定义 开/闭球（open/closed ball）
• convex： $E \subset R^k$ 对任意 $0 < \lambda < 1$ 满足 $\lambda \bvec x + (1 - \lambda) \bvec x \in E$． 例如， ball 和 k-cell 都是 convex 的．
• metric space 中， neighborhood $N_r$： 到某点距离小于 $r$ 的集合（$r > 0$）
• limit point $p$： 所有邻域存在一个与 $p$ 不同的点（无论半径有多小）
• 如果不是 limit point， 那就是 isolated point
• 如果所有 limit point 都属于集合， 这个集合就是闭合的（closed）
• 如果关于点 $p$ 的某个邻域是集合 $E$ 的子集， $p$ 就是 $E$ 的 interior point
• 如果 $E$ 中的任意一点都是 interior point， $E$ 就是 open
• 补集（complement）
• 如果一个 closed 集合中每一点都是 limit point， 那么集合就是 perfect
• 如果集合中任意一点都在某个 $r$ 为实数的邻域内， 这个集合就是 有界的（bounded）
• 集合 $E$ 在集合 $X$ 上稠密（dense）： $X$ 中任意一点都是 $E$ 的一个 limit point 或者 $E$ 中的一点． （例如有理数在实数上稠密？）
• 任何 neighborhood 都是 open 的
• 如果 $p$ 是一个 limit point， 那么它的任何 neighborhood 都有无限多个点
• 有限个点的集合没有 limit point
• $(\bigcup_\alpha E_\alpha)^c = \bigcap_\alpha (E_\alpha^c)$ 其中 $c$ 代表补集
• 集合 $E$ 是 open 的当且仅当它的补集是 closed． $E$ 是 closed 当且仅当它的补集是 open
• 任意多开集合的并集仍然是开的， 任意多闭集合的交集仍然是闭的
• 有限个开集合的交集仍然是开的， 有限个闭集合的并集仍然是闭的
• 设 $X$ 是度量空间， 如果 $E \subset X$， $E'$ 表示 $E$ 在 $X$ 中所有极限点组成的集． 那么， 把 $\bar E = E \cup E'$ 叫做 $E$ 的闭包（closure）
• 设 $X$ 是度量空间，而 $E \subset X$， 那么 (a) $\bar E$ 是闭的， (b) $E = \bar E$ 当且仅当 $E$ 闭， (c) 如果闭集 $F \subset X$ 且 $E \subset F$， 那么 $\bar E \subset F$． 由 (a) 和 (c)， $E$ 是 $X$ 中包含 $E$ 的最小闭子集
• 设 $E$ 是一个不空实数集， 上有界， 令 $y = \sup E$ ，那么 $y \in \bar E$． 因此， 如果 $E$ 闭， 那么 $y \in E$.
• 令 $Y \subset X$， $E \subset Y$， $E$ 是开的当且仅当 $E = Y \bigcap G$， 对某个 $G \subset X$
• 若 $X$ 的一组开子集 $\{G_\alpha\}$ 使 $E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha$， 那么 $\{G_\alpha\}$ 就是 $E$ 的 open cover
• Compact Set： if $\{G_\alpha\}$ is an open cover of $K$, then there are finitely many indices $\alpha_1,\dots, \alpha_n$ such that $K \subset G_{\alpha_1} \bigcup \dots \bigcup G_{\alpha_n}$
• every finite set is compact
• if $E \subset Y \subset X$, then $E$ may be open relative to $Y$ without being open relative to $X$
• Suppose $K \subset Y \subset X$. Then $K$ is compact relative to $X$ if and only if $K$ is compact relative to $Y$
• Compact subsets of metric spaces are closed
• Closed subsets of compact sets are compact
• If $F$ is closed and $K$ is compact, then $F\bigcap K$ is compact
• If $\{K_\alpha\}$ is a collection of compact subsets of a metric space $X$ such that the intersection of every finite subcollection of $\{K_\alpha\}$ is nonempty, then $\bigcap K_\alpha$ is noneempty
• If $E$ is an infinite subset of a compact set $K$, then $E$ has a limit point in $K$.
• If $\{I_n\}$ is a sequence of intervals in $R^1$, such that $I_n \supset I_{n+1} (n = 1, 2, 3,\dots)$, then $\bigcap_1^\infty I_n$ is not empty
• Every k-cell is compact
• If a set $E$ in $R^k$ has one of the following three properties, then it has the other two: (a) $E$ is closed and bounded. (b) $E$ is compact. (c) Every infinite subset of $E$ has a limit point in $E$.
• Every bounded infinite subset of $R^k$ has a limit point in $R^k$
• Let $P$ be a noneempty perfect set in $R^k$. Then $P$ is uncountable.
• The Cantor set shows that there exist perfect sets in $R^1$ which contain no segment.
• Two subsets $A$ and $B$ of a metric space $X$ are said to be separated if both $A \cap \bar B$ and $\bar A \cap B$ are empty, i.e., if no point of $A$ lies in the closure of $B$ and no point of $B$ lies in the closure of $A$.
• A subset $E$ of the real line $R^1$ is connected if and only if it has the following property: If $x \in E$, $y \in E$, and $x < z < y$, then $z \in E$.

## Chap 3. 数列与级数

• A sequence $\{p_n\}$ in a metric space X is said to converge if there is a point $p \in X$ with the following property: For every $\epsilon > 0$ there is an integer $N$ such that $n \geqslant N$ implies that $d(p_n, p) < \epsilon$. (Here $d$ denotes the distance in X.) In this case we also say that $\{p_n\}$ converges to $p$, or that $p$ is the limit of $\{p_n\}$ and we write $p_n \to p$, or $\lim_{n\to \infty} p_n = p$.
• the set of all points $p_n$ is the range of $\{p_n\}$. The range of a sequence may be a finite set, or it may be infinite. The sequence $\{p_n\}$ is said to be bounded if its range is bounded.

## Chap 11. Lebesgue 理论

1. 也叫 enumerable 或者 denumerable

—— 小时（项目创始人）