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Adiabatic 笔记

   Multi-channel 散射可以取 diabatic 基底(相当于 $R\to \infty$ 时的状态), 在这种情况下, $R\to\infty$ 时势能矩阵就没有任何 coupling, 而当 $R$ 较小时就会有 coupling.

   但如果我们将势能矩阵对角化, 得到的基底就叫做 adiabatic 基底.

\begin{equation} H \Psi = E \Psi \end{equation}
\begin{equation} H = T_s + H_{ad}( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s) \end{equation}
$s$ 角标代表 slow, $ad$ 下标代表 adiabatic.

\begin{equation} H_{ad} \Phi_\nu = u_\nu ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s) \Phi_\nu ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s, \Omega_f) \end{equation}
$f$ 角标代表 fast. 解的时候 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s$ 是常数. $u_\nu$ 包括离散和连续.

   波函数表示为

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s, \Omega_f) = \int\kern-1.4em\sum _\nu F_\nu ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s) \Phi_\nu( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s, \Omega_f) \end{equation}
带入薛定谔方程得
\begin{equation} -\frac{1}{2\mu} \left\{[ \boldsymbol\nabla _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} + \boldsymbol{\mathbf{P}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s)]^2 + \boldsymbol{\mathbf{u}} \right\} \boldsymbol{\mathbf{F}} = E \boldsymbol{\mathbf{F}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{P}} _{i,j} = \left\langle \Phi_i \middle| \boldsymbol\nabla _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} \middle| \Phi_j \right\rangle \end{equation}
这里的积分是对 $\Omega_f$ 进行. 得到的是一个矩阵,矩阵元为矢量.

   为了明确起见, 我们把式 5 记为分量的形式为

\begin{equation} -\frac{1}{2\mu} \left[ \boldsymbol{\nabla}^2 _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} F_i + 2\sum_j ( P_{ij} \boldsymbol\nabla _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} F_j) + P_{i,j}^{(2)} F_j \right] = E F_j \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{(2)}$ 矩阵定义为 $ \left\langle \Phi_i \middle| \boldsymbol{\nabla}^2 _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} \middle| \Phi_j \right\rangle $, 其实就是 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 矩阵的平方.

   到此为止所有公式都是精确的.

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