图

绝热过程

预备知识 热容量

   在系统状态变化过程中, 如果和外界没有热量和粒子交换, 这个过程就叫做绝热过程

\begin{equation} \Delta Q = 0 \end{equation}
根据熵增(式 2 ) 的定义, 绝热过程是一个等熵过程.

   由热力学第一定律式 1

\begin{equation} W + \Delta E = 0 \end{equation}
即系统对外做功和内能增加之和为零.

   理想气体的绝热过程中压强体积曲线为

\begin{equation} P V^\gamma = C \end{equation}
其中 $C$ 为常数, $\gamma$ 为绝热指数 ($i$ 是气体分子)
\begin{equation} \gamma = \frac{i+2}{i} \end{equation}
绝热指数也可以用等体热容(式 3 )和等压热容(式 4 )表示为
\begin{equation} \gamma = \frac{C_P}{C_V} \end{equation}

推导

   考虑一个极短的过程, 式 2 变为微分形式

\begin{equation} \,\mathrm{d}{W} + \,\mathrm{d}{E} = 0 \end{equation}
其中(式 1
\begin{equation} \,\mathrm{d}{W} = P \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
将理想气体状态方程(式 1 )两边微分得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{P} V + P \,\mathrm{d}{V} = nRdT \end{equation}
将气体的内能公式(式 2 )两边微分得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{E} = \frac{i}{2}n R \,\mathrm{d}{T} = \frac{i}{2} (V \,\mathrm{d}{P} + P \,\mathrm{d}{V} ) \end{equation}

   $i$ 是气体分子自由度. 把式 7 式 9 带入式 6 得 $P$ 和 $V$ 之间得微分方程

\begin{equation} \gamma P \,\mathrm{d}{V} + V \,\mathrm{d}{P} = 0 \end{equation}
其中 $\gamma$ 为绝热指数
\begin{equation} \gamma = \frac{i+2}{i} \end{equation}
绝热

\begin{equation} P V^\gamma = C \end{equation}

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