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角动量定理 角动量守恒

预备知识 角动量定理 角动量守恒(单个质点)

   角动量定理可以表示为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \end{equation}
即系统的角动量对时间的变化率等于所受外力的合力矩.系统可以包括任意选定的若干物体.

推导

   推导可类比动量定理.我们已经知道单个质点的角动量,而任何物体都可以划分成若干足够小的微元,每个微元可以看成一个质点.令第 $i$ 个质点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$, 角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i$,力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i$,单个质点的角动量定理

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out}$ 为质点 $i$ 受到的系统内其他质点的力矩和来自系统外的力矩.将该式对所有 $i$ 求和,得到总角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 变化率
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out} \end{equation}
现在我们只需证明质点系的合内力矩为零即可
\begin{equation} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} = \sum_i \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \sum_j^{j\ne i} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i} \right) = \sum_{i,j}^{i\ne j} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i}$ 是质点 $j$ 对质点 $i$ 的力.现在只考虑任意两个质点 $k$ 和 $l$,在求和中的贡献为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _k \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l\to k} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _l \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k\to l} \equiv \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _{l\to k}+ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _{k\to l} \end{equation}
即 $k$ 对 $l$ 的力矩加 $l$ 对 $k$ 的力矩(两质点的和内力矩).所以若能证明任意两质点的和内力矩为零,则质点系的合内力矩为零.

   我们先来看几何证明.如图 1 , 根据定义, 力矩的大小等于力的模长乘以力臂的长度, 而一对相互作用力的大小相同, 又由于二者共线, 力臂也重合, 所以两个力矩大小相等. 但是两个力矩的方向一个是顺时针(指向纸内), 一个是逆时针(指向纸外), 所以两力矩互相抵消, 相加为零.

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图1:两质点的相互作用力对总力矩贡献为零

   再在看代数的方法:我们先沿着两质点的连线写出相互作用力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l\to k} = \alpha( \boldsymbol{\mathbf{r}} _k - \boldsymbol{\mathbf{r}} _l)$, $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k\to l} = \alpha( \boldsymbol{\mathbf{r}} _l - \boldsymbol{\mathbf{r}} _k)$,直接计算两力矩和得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _k \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _k - \boldsymbol{\mathbf{r}} _l)\alpha + \boldsymbol{\mathbf{r}} _l \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _l - \boldsymbol{\mathbf{r}} _k)\alpha = 0 \end{equation}
证毕.

例1 单车轮与转椅实验

   小明开始时坐在静止的转椅上, 两手握住一个单车轮的轴的两端, 单车轮在水平面上转动. 这时小明将单车轮上下翻转(仍保持转动), 问小明与转椅会如何转动?

   假设开始时车轮的角动量向上, 那么翻转后车轮的角动量向下, 即角动量增量向下. 由于角动量守恒,小明的身体和转椅的角动量必须有一个向上的增量, 所以转椅最后的旋转方向与轮子开始时的旋转方向相同.

例2 陀螺的进动

  

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图2:陀螺的进动

   如图 2 (左), 陀螺旋转时, 若它的轴与竖直方向有一定倾角, 轴会绕一个竖直轴缓慢旋转, 这种现象被称为进动. 为了便于分析, 我们先假设陀螺进动的角速度比陀螺自转的角速度要慢得多. 这样, 我们就可以认为陀螺的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与陀螺的轴平行. 显然, 陀螺的进动意味着陀螺的角动量变化率 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{t}} } $ 的方向始终垂直于图中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 所在的平面. 根据角动量定理, 陀螺所受的力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 也具有同样的大小和方向.

   那么这个力矩是如何产生的呢? 我们对陀螺进行受力分析如图 2 (右), 要计算陀螺所受力矩, 我们取轴的底端为原点, 假设陀螺的轴没有质量, 则地面对陀螺的支持力 $N$ 产生的力矩为零, 而重力产生的力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \boldsymbol\times (m \boldsymbol{\mathbf{g}} )$, 其大小为 $mgr_0\sin\theta$, 方向垂直纸面向里, 恰好符合陀螺进动的要求.

   比较违反直觉的地方在于, 陀螺受到的重力是延使陀螺倾倒的方向施加的, 然而陀螺不但丝毫不会倾倒(如果不计摩擦), 反而其重心会向着与重力垂直的方向移动.

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