唯一析因环

                     

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　真因子树

　　 唯一析因环，顾名思义，就是每个元素都有唯一的不可约因式分解。这个定义用真因子树的语言来描述颇为方便。

定义 1　唯一析因环

　　 对于整环 $R$，如果它具有有限析因性和唯一析因性1，那么称其为一个唯一析因环（unique factorization domain），或译作唯一分解整环，常简称 UFD。

　　 唯一析因环的好处显而易见，每个元素都可以唯一对应一种素元素分解，比如每个非平凡整数都可以表示为素数的乘积，且这种乘积是唯一的。

例 1　正面例子

  • 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一析因环。
  • 域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 是唯一析因环。

　　 唯一析因环的概念脱胎于一个经典的错误。柯西等人曾以为自己证明了费马大定理，而事实上他们的证明依赖了一个直觉上成立的假设，用现代语言来说就是 “所有的环都是唯一析因环”。然而很可惜，存在不唯一析因的环，这也成了此类证明中的命门。

例 2　反面例子

　　 我们给出一些不是唯一析因环的例子。

  • 环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\{a+b\sqrt{-5}|a, b\in\mathbb{Z}\}$ 存在有多种因式分解方式的元素。比如说，$6$ 可以分解为 $ \left(1+\sqrt{-5} \right) \times \left(1-\sqrt{-5} \right) $，也可以分解为 $2\times 3$，这两种分解都已不可再分。
  • 复数域上的全体整函数构成的环不是 UFD，因为存在可以无限析因的元素2：$\sin{\pi z=\pi z\prod\limits_{i=1}^\infty(1-\frac{z^2}{i^2})}$。

　　

未完成：关于整函数的概念，缺少 “全纯函数” 词条作为预备知识。

　　 是否所有形如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$（$n$ 为正整数）的环都不是唯一析因环呢？答案是否定的，比如 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 等就是唯一析因环。不过对于这两个环，证明它们是欧几里得环更加方便，由此可知它们是唯一析因环，详情请参见例 4 。

　　 给定一个整环，如何判断它是否是唯一析因环呢？有限析因性通常是容易判断的，如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 中，任意元素 $a+b\sqrt{-2}$ 的真因子之模长一定小于 $ \left\lvert a+b\sqrt{-2} \right\rvert $，这就足以判断有限析因性3——但唯一析因性通常并不容易，因此需要介绍判定唯一析因环的条件。

1. 判定唯一析因环：素元素

　　 如果一个整环 $R$ 满足有限析因性，但不满足唯一析因性，会发生什么情况？以 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 为例，$6=2\times 3=(2+\sqrt{-2})\times(2-\sqrt{-2})$，但是 $2\nmid(2\pm\sqrt{-2})$，故不可约元素 $2$ 不是素元素4。

　　 但是，如果不可约元素一定是素元素呢？应用有限析因时素元素的等价定义（定理 1 ）和不可约元素的定义（真因子树的末端），容易证明此时 $R$ 中任意给定元素的所有真因子树都具有相同的末端，即唯一析因性。事实上，这就是判定唯一析因环的一种条件：

定义 2　

　　 给定整环 $R$，如果 $R$ 中所有不可约元素都是素元素，则称 $R$ 满足素性条件。

定理 1　

　　 给定整环 $R$，则 “$R$ 满足有限析因性和素性条件” 当且仅当 “$R$ 是唯一析因环”。

　　 证明：

　　 必要性：

　　 已知 $R$ 有限析因了，只需要证明此时 $R$ 有唯一析因性。

　　 由素性条件的定义 2 和此时素元素的等价定义（定理 1 ），可知如果 $t\in R$ 在 $r\in R$ 的某棵真因子树的末端，则它必在 $r$ 的每一棵真因子树的末端，因此 $r$ 的所有真因子树的末端元素都相同，从而得证唯一析因性。

　　 充分性：

　　 由于 $R$ 是唯一析因环，故已知 $R$ 有限析因。任取不可约元素 $x\in R$，如果 $x\mid r$，则 $x$ 在 $r$ 的每一棵真因子树上。由定理 1 得证 $x$ 是素元素。

　　 证毕。

2. 判定唯一析因环：最大公因子

　　 满足有限析因性的环 $R$ 中，如果没有唯一析因性，还有另外一个疑难：难以判断最大公因子。

定义 3　最大公因子

　　 给定整环 $R$。对于 $a, b\in R$，如果 $x\in R$ 是 $a$ 和 $b$ 的公因子，且 $a$ 和 $b$ 的任意公因子都是 $x$ 的因子，那么称 $x$ 是 $a, b$ 的最大公因子（greatest common divisor），记为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。

　　 对于任意多的元素，也可以定义它们的最大公因子为，使得所有公因子都是其因子的公因子，同样用符号 $ \operatorname {gcd}$ 表示，如 $ \operatorname {gcd}(a_1, a_2, a_3, \cdots)$。

　　 在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 上考虑 $a=4+2\sqrt{-2}$ 和 $b=6$，则它们的公因子集合为 $\{2, 2+\sqrt{-2}\}$，但这两个公因子都不是彼此的因子，从而 $a, b$ 没有最大公因子。

　　 观察 $a, b$ 的构造可以发现，我们是取 $6$ 的两个不同的不可约分解，然后在两个分解中各取一个对方没有的元素相乘得到 $a$，也就是说这种反例的构造依赖于没有唯一析因性。

　　 事实上，这是另一种判定唯一析因环的条件：

定义 4　

　　 如果整环 $R$ 的任意两个元素之间都有最大公因子，则称 $R$ 满足最大公因子条件。

定理 2　

　　 给定整环 $R$。则 “$R$ 满足有限析因性和最大公因子条件” 当且仅当 “$R$ 是唯一析因环”。

　　 证明：

　　 必要性：

　　 反设 $R$ 不是唯一析因环，则存在 $r\in R$，它有两棵末端不相同的真因子树。分别取这两棵树独有的末端（即对方没有的）$x$ 和 $y$，则 $r$ 和 $xy$ 之间没有最大公因子5。

　　 充分性：

　　 由于 $R$ 是唯一析因环，故任意元素的不可约分解（真因子树的末端）是确定的，不随分解方式变化而变化。对于 $a, b\in R$，各自取它们的唯一不可约分解，给 $a$ 的分解结果编号，按顺序，先取第一个不可约因子，看它是否等于 $b$ 的某个不可约因子。如果没有，则看 $a$ 的下一个不可约因子；如果有，则把这两个相同的因子都取出备用，然后看 $a$ 的下一个不可约因子是否等于 $b$ 的某个剩下的不可约因子。以此类推，直到按顺序遍历 $a$ 的全体有限个不可约因子。

　　 遍历后，把过程中取出的 $a$ 的不可约因子乘起来，结果即为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。

　　 证毕。

1. ^ 见真因子树词条的定义 5 。
2. ^ 本例取自维基百科相关页面。
3. ^ 当然，我们已经知道 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 不是唯一析因环。
4. ^ 注意由定理 2 ，素元素必是不可约元素，而这个反例说明不可约元素不一定是素元素。
5. ^ $x, y$ 不可约，故 $r$ 和 $xy$ 的公因子集合就是 $\{x, y\}$；又因为 $x, y$ 分别是两棵树独有的元素，故二者不相伴。

                     

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