贡献者： JierPeter; Giacomo; addis
1. 拓扑群
拓扑群，顾名思义，是一种同时具有群和拓扑结构的数学对象。但是光有两个结构还不够，拓扑群还要求满足拓扑和群运算之间的一个联系。
定义 1 拓扑群
给定一个集合 $G$，若在 $G$ 上定义了一个拓扑 $\mathcal{T}$ 和一个群运算 “$\cdot$”，且满足拓扑空间之间的映射 $f:G\times G\rightarrow G$ 是一个连续映射，其中 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$，那么称 $G$ 是一个拓扑群（topological group）。
要求 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$ 是一个连续映射，也就保证了 $f_1(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2$ 和 $f_2(g)=g^{-1}$ 都是连续映射。
更进一步，对于 $h\in G$，我们还可以定义左平移映射$l_h: G\to G$ 和右平移映射$r_h: G\to G$，其中对于任意 $g\in G$ 都有 $l_h(g)=hg$ 和 $r_h(g)=gh$。这两个映射也是 $G\to G$ 的连续映射。
通常，我们也会省略运算符号，而简单把 $g_1\cdot g_2$ 记为 $g_1g_2$。
定义 2 拓扑群同态
设 $G$ 和 $H$ 是两个拓扑群，它们之间有映射 $f:G\rightarrow H$。如果 $f$ 在拓扑意义上是连续映射，在代数意义上是群同态，那么称 $f$ 是一个拓扑群之间的同态。
下面我们看两个简单的例子。
例 1 拓扑群的例子
- 取实数轴 $\mathbb{R}$，定义通常的度量拓扑以及加法群，则 $\mathbb{R}$ 是一个拓扑群。
- 取复平面上的单位圆 $S^1=\{\mathrm{e}^{\theta \mathrm{i} }|\theta\in\mathbb{R}\}$，定义其拓扑为二维欧几里得空间中的子拓扑，群运算为复数乘法，则 $S^1$ 是一个拓扑群。
- 定义映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow S^1$ 为 $f(t)=\mathrm{e}^{2\pi t \mathrm{i} }$，则 $f$ 是一个拓扑群同态。
以上两个例子非常容易想象出来。下面，我们稍微深入一些，讨论一个不那么直观的拓扑群，这对将来理解微分几何富有启发意义。
例 2 一般线性群
给定实数域 $\mathbb{R}$ 和一个正整数 $k$，则全体 $\mathbb{R}$ 上的 $k$ 阶矩阵构成一个 $k^2$ 维欧氏空间，也就是一个拓扑空间。对于这个空间中的每个点（也就是矩阵），其第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元就是该点在第 $k(i-1)+j$ 个坐标轴上的分量。
如上定义的矩阵空间中，所有非退化矩阵构成一个子集，记为 $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$。在 $ \operatorname {GL}(k,\mathbb{R})$ 上用子拓扑，则它成为一个拓扑空间。
$ \operatorname {GL}(k,\mathbb{R})$ 上，用矩阵乘法作为运算，则它还构成一个群。
通过以上方式，在 $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 上分别定义的拓扑和群结构，合在一起就使得 $ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 成为一个拓扑群。
$ \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$ 作为拓扑空间可以理解为 $\mathbb{R}^{k^2}$ 空间里挖去了若干孤立点，每个孤立点都代表一个退化矩阵。定义 $f: \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})\times \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})\to \operatorname {GL}(k, \mathbb{R})$，其中 $f(g_1, g_2)=g_1\cdot g_2^{-1}$，那么要让它构成拓扑群就必须满足 $f$ 是一个连续映射，使得这一点成立的关键在于行列式是矩阵空间的连续函数，以及行列式的积性1。
2. 子拓扑群
定义 3 子拓扑群
给定一个拓扑群 $G$，若它的一个子集 $H$ 取了 $G$ 的群运算和限制拓扑以后形成一个拓扑群，则称 $H$ 是 $G$ 的子拓扑群（topological subgroup）。
对于连通的拓扑群，我们有如下性质：
定理 1
设 $G$ 是一个连通的拓扑群，$H$ 是 $G$ 的开集，且 $H$ 是 $G$ 的子群2，那么 $H=G$。
证明：
由于 $H$ 是子集，我们就可以将 $G$ 拆分成彼此不相交的左陪集 $aH$，其中 $a\in G$。
考虑左平移映射$l_a:G\to G$，则由左平移的定义得，$l_a(H)=aH$。
由于 $l_a$ 是连续映射，因此 $aH=l_a(H)$ 和 $H$ 一样，也是开集。
这样一来，$G$ 就是由彼此不相交的开集 $aH$ 取并集而来。但是 $G$ 是联通的，因此不可以拆分成不相交的开集之并。因此 $H$ 只能有一个左陪集，就是 $H=G$。
证毕。
1. ^ 即矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积。
2. ^ 不要求一定是子拓扑群。